数学 高等学校学習指導要領分析

文部科学省は、学習指導要領（以下、指導要領）改訂の方向性として、「育成すべき資質・能力の三つの柱」が「知識及び技能」、「思考力、判断力、表現力等」、「学びに向かう力、人間性等」であることを示した。

数学科の目標は、小学校・中学校と同様、包括的な前文のあと、

（1）数学における基本的な概念や原理・法則を体系的に理解するとともに、事象を数学化したり、数学的に解釈したり、数学的に表現・処理したりする技能を身に付けるようにする。
（2）数学を活用して事象を論理的に考察する力、事象の本質や他の事象との関係を認識し統合的・発展的に考察する力、数学的な表現を用いて事象を簡潔・明瞭・的確に表現する力を養う。
（3）数学のよさを認識し積極的に数学を活用しようとする態度、粘り強く考え数学的論拠に基づいて判断しようとする態度、問題解決の過程を振り返って考察を深めたり、評価・改善したりしようとする態度や創造性の基礎を養う。

として上記の「三つの柱」の具体的目標が書かれるようになった。現行学習指導要領（以下、現行指導要領）と比べ、数学的に解釈すること、事象間の関係を認識して統合的・発展的に考察すること、事象を数学的に表現すること、問題解決の過程を振り返って考察を深めることなどが明記されるようになり、思考力・判断力・表現力が重視されていることが読み取れる。

また、「高等学校学習指導要領解説」（以下、「解説」）には、高等学校で数学を学習することの三つの意義が記されている。すなわち、実用的な意義、陶冶的な意義、文化的な意義である。「実用的な意義」とは、社会科学や人文科学等への応用の実際を学び、社会をよりよく生きる知恵を得ることである。「陶冶的な意義」とは、知的好奇心、想像力、論理的な思考力などを身に付けるなど、根気強く考えることで問題が解けたときの喜びを学ぶことである。「文化的な意義」とは、数学が文化に対して果たしている役割を理解し、文化の発展に寄与する力を得ることである。

さらに、「解説」には「数学の見方・考え方」が「事象を数量や図形及びそれらの関係などに着目して捉え、論理的、統合的・発展的、体系的に考えること」であると整理されている。今回の指導要領では、指数の拡張の際など、既習の内容と新しい内容を包括的に取り扱い、意味を規定したり処理の仕方をまとめたりすることが重視されている。

そのために、「解説」では、いわゆる「日常の世界からのサイクル」：
A1：日常生活や社会の事象を数学化して問題とし、
B：その問題をより特定なものに焦点化して表現し、
C：それを処理することにより結果を得て、
D1：それを日常の世界の言葉で意味付けしたり活用したりする（数学の応用）
というサイクルと、いわゆる「数学の世界からのサイクル」：
A2：数学の世界から新たな問題を見いだして、
B：その問題をより特定なものに焦点化して表現し、
C：それを処理することにより結果を得て、
D2：統合・発展させたり体系化したりする（数学の構造化）
というサイクルの図が示されている。
このうち、今回の指導要領で強調されているのはA段階とD段階である。

また、各科目の内容のひとつひとつ（以下、単元）は「ア」と「イ」に分かれ、「ア」には身に付けるべき知識・技能、「イ」には身に付けるべき思考力・判断力・表現力が書かれるようになった。後者においては、現行指導要領で「事象の考察」とある箇所が、「日常の事象や社会の事象などを数学的に捉え」るなどという表現になっており、数学から離れた世界にある事象を数学化することの重要性が示されるようになった。

しかしながら、数学の実用的側面や、「数学の見方・考え方」の重視に時間を使いすぎて、演習の時間を減らしてしまうことは数学力の低下につながる危険性がある。限りある時間を有効に利用することが、これまで以上に求められるといってもよいだろう。

各科目の目標には、（「数学活用」から移行された単元を除き）「基本的な概念や原理・法則を体系的に理解する」との文言が新しく加わっている。「知識」をおろそかにしてはならないということである。

さらに、今回の改訂で新たに取り入れられたのが「カリキュラム・マネジメント」の考え方である。「各学校が、学校の教育目標をよりよく達成するために、組織としてカリキュラムを創り、動かし、変えていく、継続的かつ発展的な課題解決の営み」として認識されているこの考え方は、教科横断的な視点に立ち、各学校が地域等の外部の資源も含めて活用しながら取り組むべき課題であるとされている。

現行課程の「数学活用」の内容が「数学A」、「数学B」、「数学C」の各科目に振り分けられた。また、「数学II」、「数学III」には課題学習が内容として示され、全体として応用的・実用的内容を重視した改訂となっている。
この改訂では、中学校から移行された内容はなく、中学校へ移行した内容は「四分位数と箱ひげ図」のみである。また、用語として「反例」は中学2年で指導されることになった。

次に、中学校との接続については、中学校で学習する4つの分野「数と式」「図形」「関数」「データの活用」に「数学I」の4つの単元がそれぞれ対応するようになっており、中学校と高等学校の連携の必要性がわかるようになっている。
現行指導要領では、「数学A」と「数学B」で示される3つの単元がそれぞれ対応するように配置されていたが、新学習指導要領では対応関係がかなり薄れている。

現行指導要領とほぼ変化はない。ただし、現行課程の「数学A」の「整数の性質」から、「分数が有限小数や循環小数で表される仕組み」が「数学Ｉ」に移された。
なお、現行課程の「データの分析」に示された内容のうち、「四分位数と箱ひげ図」は中学2年に移行されている。新規に「外れ値」が用語として示されており、「仮説検定の考え方」を扱うとされていることから、散布図などのデータから、他とかけ離れているものを見つけるなどの内容が扱われるだろう。また、データの値が平均値から標準偏差の何倍離れているかで外れ値かどうかを判定するなどの内容も一部の新課程版の教科書には掲載される可能性がある。
また、生徒の実情に応じて「ヘロンの公式」を扱うことも差し支えないが、分数式の扱いは「数学II」の内容であるから留意する旨の注意が総則の「解説」に記されている。さらに、「数学I」と「数学A」には、「平面図形」、「空間図形」、「集合」のように内容の似かよった分野があるので、内容の関連に注意して扱う必要がある。

課題学習が追加されたほかは、従前とほぼ変化はない。
微分は3次以下、積分は2次以下の多項式を「中心として扱う」というのも現行課程と変わらない。大学入学共通テスト（以下、共通テスト）では、この次数制限のもとで出題されるものと思われる。
なお、「解説」57ページ真ん中辺りには「x4+x2+2x（＊1）のような複二次方程式」とあり、「x4+x2-2=0（＊2）」と「x4+x2+1=0（＊3）」のどちらのタイプの方程式を指しているのか明確でないが、過去の指導要領の「解説」を踏まえると、「x4+x2-2=0（＊2）」型の方程式を指している可能性が高いように思われる。

課題学習が追加され、「平面上の曲線と複素数平面」は「数学C」に移された。これによって「数学III」はほとんどすべてが解析的な内容となった。

現行課程の「数学A」は実質的に3単元すべてを扱う学校が多かったが、建前上は2単位分選択することになっていた。新課程の「数学A」も標準的には2単位分を選択して学習することになる。
「場合の数と確率」では「期待値」が扱われることになったとともに、「頻度確率」も扱うとされた。高等学校の教科書では乗法定理は根元事象の数の比で扱われることが伝統的であったが、頻度確率を扱うことにより記述が変化する可能性がある。ただし、受験数学では従前から頻度確率が扱われており、実際の指導上の影響はほとんどないだろう。
「図形の性質」では、「チェバの定理」と「メネラウスの定理」について、これまで教科書では重視して取り扱われなかった「チェバの定理において3直線の交点が三角形の外部にある場合」や「メネラウスの定理において直線が三角形を割らない場合」を考察することが大切であると「解説」に記された。一方、「作図」については独立した項目としては扱われていないので若干扱いが軽くなるものと思われる。さらに、「オイラーの多面体定理」は全く言及されていない。
また、日常生活に絡めて整数や空間座標を扱う「数学と人間の活動」という単元が「数学活用」から移行されたが、多くの高等学校では「場合の数と確率」と「図形の性質」を扱うことになるだろう。
なお、「整数の性質」については、上述のように一部「数学Ｉ」に移されたが、「ユークリッドの互除法」と「記数法」が「数学A」の「数学と人間の活動」に移されている。これらは、「数学A」という一つの教科書内に記述があるので、この単元を扱わない場合においても、必要に応じて参照させることができるだろう。

「ベクトル」が「数学C」に移され、社会生活で用いられている数学を扱う「数学と社会生活」が新設された。
「数列」について、数学的帰納法によって整数に関する命題を証明する際、別解として剰余類のような考え方を扱い、数学的な見方・考え方のよさを感じられるようにすると「解説」に記された。さらに、数学的帰納法に関しては、従前は「理解する」という記述にとどまっていたが、今回の改訂では「書き方を指導する」という、より強い表現が加わっている。
「統計的な推測」は現行課程の「確率分布と統計的な推測」とほぼ同じであるが、加えて「検定」を扱うとされた。「両側検定」程度が扱われると思われる。この内容は平成元年（1989年）告示の指導要領で削除されて以来約30年ぶりの復活であり、ここからも統計教育重視の姿勢が見受けられる。また、「標本調査」に関連して、標本調査の設計や、標本調査の方法（クラスター抽出）などについても扱うとされている。
多くの高等学校で「数列」と「統計的な推測」を扱うことになるだろう。

「数学B」から移行された「ベクトル」、「数学III」から移行された「平面上の曲線と複素数平面」、「数学活用」から移行されたと思われる「数学的な表現の工夫」から構成される。最初の2単元は現行課程とほぼ変化はないが、「数学的な表現の工夫」は離散グラフや行列を扱うとされている。
現行課程の「数学III」は5単位であるが、新課程の「数学III」＋「数学C」も5単位である。多くの高等学校で「ベクトル」と「平面上の曲線と複素数平面」が扱われることになると思われるが、同じ5単位であっても内容は「ベクトル」がそのまま追加される形となり、とても忙しい。
なお、「数学III」の「平面上の点の運動」は「ベクトル」の学習が前提となっている。

「数学Ｉ」の「データの分析」では、箱ひげ図に外れ値を示す方法が扱われている。新課程では中学2年において箱ひげ図が扱われることになるが、高等学校では新たな方法を学ぶことになり、混乱しないように丁寧に指導しなければならない。さらに、「相関関係」と「因果関係」を混同しないようにとの注意も書かれた。
また、変量 x に対し、f（a）=Σ（xi-a）2（＊4）という関数を考えると、f（a）は a が x の平均値のとき最小となり、その最小値がxの分散に等しいことを少数の値のデータに対して確かめることも記述されている。
さらに、「数学Ｉ」の「2次関数」に関連して座標平面上に点をプロットして関数関係を調べることや、「数学B」の「数学と社会生活」に関連して散布図上に点をプロットして回帰直線等を考えることや、「数学II」の「指数関数・対数関数」に関連して「片対数目盛」についての言及もされている。
現行課程の「解説」には、たとえば、常用対数に関連して「マグニチュード」などについて触れることが書かれており、これらは教科書のコラムや見返しなどで扱われているが、今回の改訂で「日常の事象や社会の事象などを数学的に捉え」という文言が指導要領に書かれたことを考えると、今後は教科書本文にこのような内容が盛り込まれることも予想される。

統計分野が充実してきたことに比べ、代数幾何は扱いが軽くなっている。昭和53年（1978年）告示の指導要領で高校2年までに扱われてきた代数幾何に属する分野は「図形と方程式」、「ベクトル」、「行列」、「写像と1次変換」、「2次曲線」であったが、今回の改訂により「図形と方程式」だけになってしまった。「ベクトル」が「数学C」に配置されたことにより、この分野の学習時期が遅くなる可能性がある。

しかし、「ベクトル」は物理などでも用いる、数学の重要な概念であり、「ベクトル」で学ぶ「ほどよい抽象性」は、難しくはあっても生徒の抽象化能力の育成に役立っている。また、図形の問題を解く際には、「平面幾何」、「座標幾何」、「ベクトル」、「複素数平面」といろいろな手段があり、そのうちのどれを選択すると都合がよいかを考える力を育むことは今回の改訂の趣旨の一つである。習熟度を高めるため、また、他教科との関連性を高めるため、「ベクトル」の学習時期を早めるという選択肢もある。

「数学I」の「データの分析」、「数学B」の「統計的な推測」のような統計分野や、「数学活用」から移された「数学A」、「数学B」、「数学C」の各分野など、今回の改訂では応用の単元が増加した。その影響で様々な分野に応用できる、基礎単元の学習時期が遅くなった。そのため、基礎単元の習熟度が著しく低くなる可能性があり、演習の機会を十分に与えるなどの配慮が必要となるだろう。

現行課程で「数学A」を3単元とも扱い、「数学B」は「数列」と「ベクトル」を扱っている高等学校において、新課程において指導すべき単元の増減は以下のようになる。ただし、「数学A」は「図形の性質」と「場合の数と確率」、「数学B」は「数列」と「統計的な推測」、「数学C」は、理系生は「ベクトル」と「平面上の曲線と複素数平面」の2つの単元、文系生は「ベクトル」をそれぞれ扱うものとした。

今回の指導要領において、「主体的な学習」、「主体的・対話的で深い学び」のような語句が散見される。これはいわゆる「アクティブ・ラーニング」を文部科学省が表現したものである。
「主体的な学び」とは、生徒自らが問題の解決に向けて見通しをもち、粘り強く取り組んでよりよく解決したり新たな問題を見いだしたりすることであり、「対話的な学び」とは、事象を数学的な表現で論理的に説明したり、事柄の本質について話し合って明らかにしたりすることである。「解説」では、「数学Ｉ」の「データの分析」で「標準偏差」や「平均偏差」などの変量の特性について話し合い、長所と短所を話し合うという例が示されている。
さらに、数学や日常生活などのさまざまな事象に関して、「主体的・対話的学び」を通して得た新しい知識や技能を統合することで「深い学び」を実現することも求められている｡
いわゆる受験校においては、教えるべき内容が多いため数学の授業中に実施することは困難を伴うが、数学科の「課題学習」や「総合的な探究の時間」などを利用して実施することが考えられる。

今回の指導要領では、「コンピュータなどの情報機器を用いて」という語句が随所に見られる。2次関数、三角関数、無理関数などのグラフの図示や、いろいろな曲線の図示にコンピュータを活用するということは従前も行われていたが、今回の改訂では、「解説」において、三角比の値や対数の計算、極限の計算、数列の一般項の計算、複利計算など、実数の計算についてもコンピュータを積極的に活用するように記述されている。さらに、軌跡や線形計画法などの「図形と方程式」の内容や幾何の学習にもコンピュータが活用できる。「数学B」の「統計的な推測」に関連して、二項分布を正規分布で近似したり、標本平均の意味を理解するためにサンプルをとり処理したりするときに、コンピュータを活用することも考えられる。また、「数学III」の課題学習では、ニュートン法を利用した方程式の解（の近似値）を求めるプログラムを作るということも提起されている。
これらについても、数学科の「課題学習」や「総合的な探究の時間」などを利用して実施するとよいだろう。

今回の改訂では、「理数探究基礎」、「理数探究」が新設されるなど、教科等の横断的な学習が重視されている。また、「データの分析」は「情報Ｉ」と、「統計的な推測」は「情報II」と密接な関係があり、物理と「ベクトル」や「三角関数」、化学と「常用対数」などのつながりもある。数学科としては、他教科との連携を取りながら、効率的に学習を進められるよう配慮することが求められる。

（6）高等学校では「整数の性質」が扱われなくなるが、大学入試での出題は従前どおり続くと思われる。旧課程まではセンター試験でも「数と式」に関連して整数に関する問題は出題されていたので、旧課程までの状態に戻ったと考えればよいだろう。ただし、現行課程において大学入試で出題された「ユークリッドの互除法とax+by=c 型の方程式の整数解」については中学校で扱っていないため、機会を見つけて扱っておくとよいだろう。「位取り記数法」については、基本的なものは大学入試で出題される可能性があるため、「数学A」の教科書の「数学と人間の活動」の章を参照させたり、教科「情報」などと関連させたりして扱っておくとよいだろう。

（7）応用分野が増えたことで、共通テストの題材が見つけやすくなった。課題学習の時間や、新科目「理数探究基礎」「理数探究」（これらは「総合的な探究の時間」の履修の一部または全部に替えることが可能）などの時間を利用して、事象の数学化の訓練をするとよいだろう。