数学講座案内 講座案内・時間割 | Ｋ会 冬期講習

中高生の方であればどなたでもご受講いただけます。

本講座のテーマは、文字式の基本的な扱い方を身に付けることです。さまざまな現象をひとつの式でまとめて表すために、文字式は数学のほとんどすべての場面で用いられます。したがって文字式は数学における最も基本的で重要な概念であるといえるでしょう。文字式の重要な利用法として、未知の数が満たすべき性質を表す等式を作るというものがあります。この過程でできる等式を方程式といいますが、方程式による問題解決法は、「わからないもの」を「わかっているもの」のように扱うことができるため、非常に強力であるといえます。このような、現象を記述する道具としての有用性に加えて、文字式はそれ自身も多くの興味深い性質を持っています。代入と因数分解を結びつける因数定理や、方程式の解と係数の関係はその最たる例です。本講座で文字式の性質に対する深い理解を習得して今後の学習に役立ててください。

第1講　文字式
第2講　因数分解
第3講　2次方程式
第4講　さまざまな方程式

ルートについての基礎知識を必要とします。

関数とは数に数を対応させる規則のことです。たとえば「時刻が経過するにつれて物の位置がどのように変化するか」「ある場所の角度を変えると別の場所の長さはどのように変化するか」といったことが、関数を考えることに相当します。関数の定義はシンプルですが、その分非常に応用が利きます。数学の多くの場面で現れ、文字式と並び最重要な知識のひとつです。本講座では関数とは何かから始まり、視覚的に理解するためにグラフを描き、代表的な式変形に慣れることをめざします。特に、図形における長さと角度の関係を記述する「三角関数」や、べき乗の概念の一般化である「指数関数」、指数関数と表裏一体の関係にある「対数関数」の扱いに慣れることで、今後の学習が非常にスムーズになるでしょう。さらに関数のグラフの関係についても詳しく学び、式変形したときにグラフがどのように変化するかを考える力も身に付けていきます。本講座で得る関数についての知識は今後の学習の大切な土台となるでしょう。

第1講　関数とは
第2講　三角関数
第3講　関数とグラフの関係
第4講　指数関数・対数関数

三角関数、指数・対数関数についての基礎知識を必要とします。

関数を調べるときにはグラフを描くとその値の挙動が視覚的に捉えられて便利です。しかし、1次関数などの簡単な関数や三角関数などのよく知られた関数を除き、グラフを描くのは困難な作業です。そこで登場するのが今回のテーマである微分法です。微分法は関数の瞬間的な変化率を求める方法であり、グラフにおいては接線の傾きを求めることに相当します。これによって、グラフが右上がりか右下がりか、あるいは上下どちらに出っ張っているかがわかります。さらに、関数の値の増減の様子がよく反映されたグラフを描くことが可能になるのです。また、本講座では、微分法と並んで重要な手法である積分法を学習します。積分法は図形の面積を求める方法ですが、実は微分法と密接に関連しています。微積分は他分野への応用も広く、自然科学全般を支える道具の一つです。４日間の学習は奥深い数学の世界へ進むための万全な準備となるでしょう。

第1講　極限・微分
第2講　指数関数・対数関数・三角関数の微分
第3講　微分とグラフ
第4講　積分

座標平面、三角関数についての基礎知識を必要とします。

ベクトルとは、大きさと向きを持つ対象で、 図形を捉える際に強力な道具となります。本講座では、はじめに平面のベクトルを扱います。まず、 ベクトルの基本的な演算である和とスカラー倍について学び、ベクトルに慣れ親しんだ後、内積という演算を導入していきます。 内積を学ぶ過程で、ベクトルが長さや角度を扱う際に非常に有効な道具であることがわかるでしょう。 後半ではベクトルの概念を空間に拡張し、それにより空間内の図形もベクトルで記述できるようになります。 さらに外積という演算によって、さまざまな量が容易に計算できるようになります。 このようにベクトルは、さまざまな図形を記述し、 長さ、 角度、体積といった量を扱ううえで非常に役に立ちます。 本講座を通してベクトルの扱い方を身に付け、 図形に対するより深い理解を手に入れてください。

第1講　平面のベクトル
第2講　平面上の図形
第3講　空間のベクトル
第4講　空間内の図形

文字式の計算、ルートの計算についての基礎知識を必要とします。

整数論の特徴は、誰にでもわかる問題設定から出発して、非常に高度な理論が展開されていくところにあります。たとえば本講座では、「x²－2y²＝1」（＊1）「x²＋y²＝200」（＊2）などの方程式の解を整数の範囲で求めるという問題から始めていきます。このような方程式では、一見すると手作業で地道に解を調べ上げるしか方法はなさそうですし、解の様子もかなり不規則に思えるでしょう。しかし、√2（＊3）などの無理数をも対象とした「代数的整数論」を考えると、このような方程式の解の様子を鮮明に捉えることができるのです。講座の後半には、上に挙げたような方程式の解を皆さん自身の手で分析できるようになります。最初は複雑に思えた問題が、理論を構築して高い視点に立つと見事に整理されるという数学の醍醐味を、ぜひ体感してください。

第1講　Pell 方程式と無理数の整数論
第2講　方程式 x²＋y²＝n（＊4）
第3講　UFD の整数論
第4講　素イデアル分解

文字式の計算、集合についての基礎知識を必要とします。

第1講　置換群と対称式
第2講　解の公式と体の拡大
第3講　べき根拡大と体の対称性
第4講 方程式と解の公式

K 会の現代数学コースを受講、または修了されている方を対象とします。

本講座では、現代数学基礎コースの２学期までに学習する４分野の問題演習を行います。演習を通して具体的な対象や計算例に触れることで、これまでの学習内容の理解を深めることをめざします。現代数学の入門書は、必ずしも適切な難易度の練習問題が用意されているわけではありません。解答例が充実した書籍も少なく、中高生の皆さんが自習をするにはハードルが高いのではないでしょうか。そこで本講座では、皆さんの理解の助けとなるような問題を厳選し解説します。問題は、レギュラー授業の講末問題程度のものから、大学院入試相当レベルのものまで幅広い難易度を扱う予定です。まず、予習としてレギュラー授業の内容をふり返る基礎的な問題に取り組み、演習に必要な基本的な概念や考え方を再確認します。その後、90分ほどをかけてさまざまな難易度の問題を各自で解いていただき、それについての解説を行います。加えて、それらの類題や、新たに触れた概念について自学できるような、復習プリントも用意しています。基礎的な内容を復習したい方はもちろん、それらを応用してより発展的な問題に挑戦したい方にも満足いただけるような問題です。ぜひ本講座を活用し、これまでの学習内容の定着と、さらなる実力の養成をはかりましょう。

第1講　集合と代数系
第2講　線型代数学
第3講　極限と位相
第4講　多変数の微積分

日本数学オリンピックの本選や国際数学オリンピックで出題されるレベルの問題を扱います。

皆さんは国際数学オリンピック（IMO）を知っていますか？IMOは1959年にルーマニアで第１回大会が開催され、2025年で66回を迎えた歴史あるコンテストです。オーストラリアで行われた66回大会には110の国や地域から630名の選手が参加しました。選手たちは、各国の大会を経て代表に選抜されています。皆さんの中にも日本代表を選抜する大会、日本数学オリンピック（JMO）に参加された方がいらっしゃることでしょう。選抜大会で出題される問題は普段学校で扱う数学の問題とは一味違い、深い思考力が必要とされます。数学者や数学教育に携わる者が練りに練った良問を、一部のコンテスト参加者だけが解くのは非常にもったいないことです。また、数学は国によるカリキュラムの差異が少なく、問題文さえ読むことができれば海外の問題を解くことは難しいことではありません。世界の同年代が、どのような問題を解いているのか知りたいと思いませんか？そこで本講座では、皆さんに国際大会や各国の代表選抜大会で出題された問題に挑んでいただきます。演習時間を十分に設け、その後は問題の考え方・解き方を丁寧に解説します。解ける・解けないは気にせずに難問に挑戦すること、思考することそのものをぜひ楽しんでください。

4日間（180分×４講）で複数の国の問題を扱います。出題する問題は各国の国内予選（日本数学オリンピック［JMO］に相当する大会）や、国際数学オリンピック[IMO]をはじめとする国際大会の問題です。