数学講座案内 講座案内・時間割 | Ｋ会 冬期講習

興味のある方であればどなたでもご受講いただけます。

この講座のテーマは、文字式の基本的な扱い方を身に付けることです。さまざまな現象をひとつの式でまとめて表すために、文字式は数学のほとんどすべての場面で用いられます。したがって文字式は数学における最も基本的で重要な概念であるといえるでしょう。文字式の重要な利用法として、未知の数が満たすべき性質を表す等式を作るというものがあります。この過程でできる等式を方程式といいますが、方程式による問題解決法は、「わからないもの」を「わかっているもの」のように扱うことができるため、非常に強力であるといえます。このような、現象を記述する道具としての有用性に加えて、文字式はそれ自身も多くの興味深い性質を持っています。代入と因数分解を結びつける因数定理や、方程式の解と係数の関係はその最たる例です。この講座で文字式の性質に対する深い理解を習得して今後の数学の勉強に役立ててください。

第1講　文字式
第2講　因数分解
第3講　2次方程式
第4講　さまざまな方程式

ルートについての基礎知識を必要とします。

関数とは数に数を対応させる規則のことです。例えば「時刻が経過するにつれて物の位置がどのように変化するか」「ある場所の角度を変えると別の場所の長さはどのように変化するか」といったことが、関数を考えることに相当します。関数の定義はシンプルですが、その分非常に応用が利きます。数学の多くの場面で現れ、文字式と並び最重要な知識のひとつです。この講座では関数とは何かというところから始まり、関数を視覚的に理解するためにグラフを描き、代表的な関数の式変形に慣れることをめざします。特に、図形における長さと角度の関係を記述する「三角関数」や、べき乗の概念の一般化である「指数関数」、指数関数と表裏一体の関係にある「対数関数」といった関数の扱いに慣れることで、今後の数学の学習が非常にスムーズになるでしょう。さらに関数のグラフの関係についても詳しく学び、関数を少し式変形したときにグラフがどのように変化するかを考える力も身に付けていきます。この講座で得る関数についての知識は今後の数学学習の大切な土台となるでしょう。

第1講　関数とは
第2講　三角関数
第3講　関数とグラフの関係
第4講　指数関数・対数関数

三角関数、指数・対数関数についての基礎知識を必要とします。

関数を調べるときにはグラフを描くと挙動が視覚的に捉えられて便利ですが、1次関数などの簡単な関数や三角関数などのよく知られた関数を除き、グラフを描くのは困難な作業です。そこで登場するのが微分法です。微分は関数の瞬間的な変化率を求める方法であり、グラフにおいては接線の傾きを求めることに相当します。これを用いることでグラフが右上がりか右下がりか、また上下どちらに出っ張っているかがわかり、さまざまな関数のグラフを要点を押さえて描けるようになるので、具体的な式で与えられた関数を理解する手がかりとなることでしょう。最終講では、微分と並んで大切な手法である積分を学習します。積分は図形の面積を求める方法ですが、実は微分と密接に関連しています。微積分は他分野への応用も広く、自然科学全般を支える道具の一つです。4日間の学習は奥深い数学の世界へ進むための万全な準備となるでしょう。

第1講　極限・微分
第2講　指数関数・対数関数・三角関数の微分
第3講　微分とグラフ
第4講　積分

座標平面、三角関数についての基礎知識を必要とします。

この講座で扱うベクトルとは、大きさと向きを持つ対象で、図形を捉える際に強力な道具となります。この講座では、前半の2講で平面のベクトルを扱います。まず、ベクトルの基本的な演算である和とスカラー倍について学んでベクトルに慣れ親しんだ後、内積という演算を導入します。内積を学ぶ過程で、ベクトルが長さや角度を求める際に非常に有効な道具であることがわかるでしょう。後半ではベクトルの概念が空間に拡張され、それにより空間内の図形もベクトルで記述できるようになります。さらに最終講に扱う外積という演算によって、よりさまざまな量が容易に計算できるようになります。このようにベクトルは、さまざまな図形を記述し、長さ、角度、体積といった量を扱ううえで非常に役に立ちます。この講座を通してベクトルの扱い方を身に付け、図形に対するより深い理解を手に入れてください。

第1講　平面のベクトル
第2講　平面上の図形
第3講　空間のベクトル
第4講　空間内の図形

文字式の計算、ルートの計算についての基礎知識を必要とします。

整数論の特徴は、誰にでもわかる問題設定から出発して、非常に高度な理論が展開されていくところにあります。今回の講座では、「x2－2y2＝1」（＊1）「x2＋y2＝200」（＊2）などの方程式の解を整数の範囲で求めるという問題から始めていきます。このような方程式では、一見すると手作業で地道に解を調べ上げるしか方法はなさそうですし、解の様子もかなり不規則に思えるでしょう。しかし、√2（＊3）などの無理数をも対象とした「代数的整数論」を考えると、このような方程式の解の様子を鮮明に捉えることができるのです。講座の後半には、上に挙げたような方程式の解を皆さん自身の手で分析できるようになります。最初は複雑に思えた問題が、理論を構築して高い視点に立つと見事に整理されるという数学の醍醐味を、ぜひ体感してください。

第1講　Pell 方程式と無理数の整数論
第2講　方程式x2＋y2＝n（＊4）
第3講　UFD の整数論
第4講　素イデアル分解

文字式の計算、集合についての基礎知識を必要とします。

第1講　置換群と対称式
第2講　解の公式と体の拡大
第3講　冪根拡大と体の対称性
第4講　方程式と解の公式

中学数学について一通り理解している方を対象とします。

皆さんは数学オリンピックの問題を見たことがありますか？学校で扱うような問題とは一味違い、思考力を試す問題が多く、基本的な定理を知っているだけではなかなか解くことができません。定理を使いこなす力や、応用する力が必要になります。この講座では、整数論・組合せ・代数・幾何に分けて、日本ジュニア数学オリンピック（JJMO）・日本数学オリンピック（JMO）の予選問題を解く上で、どのような定理や手法を使いこなしていくべきかを、国際数学オリンピックのメダリストでもあるＫ会の講師が丁寧に解説します。この講座によって得られる、定理を自由自在に扱うスキルや深い思考力は、単なる予選の対策にとどまらず、今後の数学学習に大いに役立つことでしょう。

第1講　整数論
第2講　組合せ
第3講　代数
第4講　幾何

興味のある方であればどなたでもご受講いただけます。

日本では土用の丑の日にウナギを食べる習慣がありますが、ニホンウナギは2014年から絶滅危惧種の指定を受けています。ニホンウナギに限らず多くの絶滅危惧種を保全するためには、個体数の時間的な変動がどのようなメカニズムで起こるのかを知ることが重要であり、数理モデルを作って理論的に解析を行うことが非常に有効です。つまり、時間の経過とともに変化する複雑で捉えにくい世界を、数学の式を使って一般化し、具体的な解決策を探っていくのです。このように数学の手法を生物学や医学に応用し、研究する学問は数理生物学と呼ばれています。この講義では、前提知識を要求せずに、個体数の変動の様子を研究する「個体群生態学」に関する日本生物学オリンピックの問題を解いていきます。数学の持つ具体的実体を抽象化し、一般化する力を感じるとともに、普段は異なる科目として学習する数学と生物が融合する様子を楽しんでいきましょう。

第1講　個体群生態学入門
第2講　数学的準備
第3講　ロジスティック方程式
第4講　Lotka-Volterra 方程式