数学講座案内 講座案内・時間割 | Ｋ会 夏期講習

興味のある方であればどなたでもご受講いただけます。

数は数学のあらゆる場面で登場します。したがって、数について理解すること、数の計算ができることは数学を学ぶうえでとても大切です。また数はそれ自体が興味深い数学のテーマでもあります。この講座を通していろいろな数の計算規則や性質を知り、数のさまざまな側面を学んでいきましょう。たとえばルートの計算には、今後数学を学ぶうえで重要な技術が詰まっています。ぜひこの講座で習熟してください。またルートの発展として、複素数という数も登場します。この数の計算規則はルートと似ていますが、計算が図形的に解釈できるという性質をもっています。複素数を知ることで数と図形という二つの分野が交わるおもしろさを体感できることでしょう。さらに最後には、行列について学びます。これはかける順番を変えると計算結果が変わってしまう、今まで触れてきた数とは異なる性質をもっています。数という身近なものを通して数学が見せるさまざまな魅力を味わいましょう。

第1講　実数と四則演算
第2講　ルート
第3講　複素数
第4講　行列

興味のある方であればどなたでもご受講いただけます。

初等幾何は、紀元前から古代ギリシャで研究されていた歴史ある分野であり、現代にいたる数学の出発点とも言えます。いくつかの基本的性質から始めて図形の性質を次々と証明していく初等幾何の議論の進め方は、すべての数学の模範となってきた重要なものであるとともに、それだけで鑑賞に堪え得る芸術品とも言えます。この講座を通して、図形がもつ奥深い性質を学べば、三角形や円などの見慣れた図形も今までとまったく異なる見え方がすることでしょう。たとえばピタゴラスの定理を学べば、直角三角形の辺の長さを求めたり、三角形の三辺の長さからその高さを求めたりと、計算できる長さが一気に増えます。また、円周角の定理や方べきの定理などを学べば、円のつくる角度や長さを中心に注目せずとも求められるようになります。さらにこの講座では、これらの性質を学ぶと同時に、証明という論理的なプロセスを通して数学の考え方も身につけてもらいます。古代から多くの人々を魅了してきた図形にひそむ法則を、楽しみながらしっかりと理解し自分のものにしていきましょう。

第1講　合同
第2講　相似
第3講　直角三角形と三平方の定理
第4講　円

数列、漸化式、指数・対数、三角関数についての基礎知識を必要とします。

第1講　数列の極限（1）
第2講　数列の極限（2）
第3講　関数の極限（1）
第4講　関数の極限（2）

文字式の計算、2次方程式、三角関数についての基礎知識を必要とします。

座標の考え方は、数式を用いて図形を代数的に扱う手段として導入されました。これにより複雑な図形も機械的な計算で扱うことができ、また空間への拡張も容易にできるようになることが利点です。いくつか具体例を挙げましょう。座標幾何を用いると、線分を与えられた比に分割する点を簡単な計算で求めることができます。このことを用いれば、三角形の３つの中線が１点で交わることをだれにでもできる計算で示すことができるのです。あるいは点A, Bが与えられたとき、AP+BP=1となるような点P全体を考えてみましょう。円などの単純な図形とは異なりますから、初等幾何的な方法で取り組むのは難しそうです。しかし、座標幾何ではこのような図形を表す方程式を考えることで、ずっと楽に取り扱えるようになります。このように初等幾何では取り扱いにくいものでも、計算をするだけで性質を明らかにできることが座標幾何の魅力です。初等幾何の世界から座標幾何の世界へ旅立つことで、幅広い幾何学観を自分のものにしましょう。

第1講　座標平面
第2講　座標平面上の図形
第3講　円錐曲線
第4講　座標空間

興味のある方であればどなたでもご受講いただけます。

平方数1, 4, 9, 16, 25,……を11で割ったときの余りを書き出してみると、0, 1, 3, 4, 5, 9の6つしか現れないことが観察できます。このように平方数を自然数nで割ったときの余りのことを「nを法とする平方剰余」と呼びます。平方剰余は一見するとバラバラな数の並びに見えますが、実はいろいろな規則性が隠れていることが知られています。この講座では整数論の中でも特に「整数を自然数で割ったときの余り」について詳しく探求し、最終的には19世紀の数学者ガウスによる「平方剰余の相互法則」を証明します。これは3 以上の素数p とq に対して、「pがqを法とする平方剰余かどうか」と「qがpを法とする平方剰余かどうか」の間に関係があるという驚くべき定理です。だれもが知っている整数の加減乗除を出発点として一つひとつ論理を積み重ねていき、この深遠な定理に辿り着くまでの道のりを一緒に楽しんでいきましょう。

第1講　素数と素因数分解
第2講　合同方程式と中国剰余定理
第3講　フェルマーの小定理と原始根
第4講　平方剰余の相互法則

ルート、文字式の計算についての基礎知識を必要とします。

1，1から始まり、第3項以降の各項は直前の2項の和になっている数列をフィボナッチ数列と呼びます。始めの何項かは1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…です。ここに現れる数をフィボナッチ数と呼びます。フィボナッチ数は非常に初等的ながらそのシンプルさから多くの人々の興味の対象になっており、さまざまな公式や数論的性質が知られています。第1講では、素朴な問題にフィボナッチ数列が現れることを確認し、そのことを利用してフィボナッチ数に関するさまざまな等式を導きます。また、n番目のフィボナッチ数をnを用いて表す、ビネの公式と呼ばれる公式が存在することを紹介します。第2講では、フィボナッチ数の数論的性質にスポットライトを当てます。たとえば、第3項，第6項，第9項，第12項，…が2の倍数、第4項，第8項，第12項，…が3の倍数など、ある数の倍数が周期的に現れることを証明します。さらに、なんとフィボナッチ数列に現れる平方数をすべて求めることができます。フィボナッチ数というピンポイントな話題をぜひ一緒に掘り下げてみませんか？

第1講　フィボナッチ数と多項式
第2講　フィボナッチ数と整数論

文字式の計算についての基礎知識を必要とします。

第1講　結び目理論とは
第2講　変形と不変量
第3講　ジョーンズ多項式
第4講　素な結び目への分解

中学数学について一通り理解している方を対象とします。なお、問題は本選や国際大会で出題されるようなレベルのものを扱います。

皆さんは数学オリンピックの問題を見たことがありますか？ 数学オリンピックの問題は普段学校で扱う数学の問題とは一味違い、深い思考力が必要とされ、慣れていないととっつきにくいものが多いように思われます。この講座では、数学オリンピックの本選や国際大会に出題されるような証明問題への取り組み方を、国際数学オリンピックのメダリストでもあるＫ会の講師がその経験を活かしながら丁寧に解説します。問題の考え方、解き方を解説し、必要に応じてよく使う知識や手法についても説明します。この講座を受講して実際に数学オリンピックに参加してみるのもよいでしょう。また、数学オリンピックの問題に触れることによって、学校で習う数学とは違ったおもしろさを感じることもできるでしょう。数学オリンピックの問題に挑戦することによって思考力を伸ばし、今後の数学学習に大いに役立ててください。

日本数学オリンピック（JMO）は、国際数学オリンピック（IMO）へ参加する代表を選ぶためのコンテストです。JMOには、予選と本選があり、予選は1月に実施され、成績順にAランク（予選合格・約200名）・Bランク（Aランク者を含めて上位50%まで）・Cランクと定めています。本選は2月にAランク者を対象に行われ、約20名がJMOのAAランク者に選ばれ、優勝者には川井杯、さらに成績順に金・銀・銅のメダルが授与されます。このAAランク者がIMOの日本代表選手候補として3月の合宿に参加し、そこでのテストの結果等に基づいて日本代表選手6名が選ばれます。